\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\begin{document}

\section*{若尔当曲线（Jordan Curve）}

若尔当曲线，或称若尔当曲线定理（Jordan Curve Theorem），是拓扑学中的一个经典结果。其定义如下：

\begin{definition}
若尔当曲线是平面$\mathbb{R}^2$中的一条简单闭合曲线，即这是一条连续且不自交的环。用数学语言表示，若尔当曲线$J$是从$[0,1]$到$\mathbb{R}^2$的连续映射$\varphi:[0,1]\to\mathbb{R}^2$，使得$\varphi(0)=\varphi(1)$，并且$\varphi$在$[0,1]$上的限制是单调的（或没有其他自交点）。
\end{definition}

若尔当曲线定理则表明：

\begin{theorem}[若尔当曲线定理]
在欧氏平面$\mathbb{R}^2$上，任意一条简单闭曲线$J$将平面分成两部分，使得在同一部分的任意两点，可用一条不与$J$相交的弧相连；在不同部分的两点若要相连，则连结的弧必须与$J$相交。
\end{theorem}

这意味着，若尔当曲线$J$是这两个区域的公共边界，其中一个区域是有界的（内部），另一个区域是无界的（外部）。

\section*{Jordan-Brouwer分离定理}

Jordan-Brouwer分离定理是若尔当曲线定理在更高维度上的推广。

\begin{theorem}[Jordan-Brouwer分离定理]
设$X$是$(n+1)$维欧几里得空间$\mathbb{R}^{n+1}$（$n>0$）中的拓扑球，即$n$球$S^n$注入到$\mathbb{R}^{n+1}$中的连续映射的图像。那么$\mathbb{R}^{n+1}$中$X$的互补部分$Y$由两个连通部分组成。这些部分中的一个是有界的（内部的），另一个是无界的（外部的）。集合$X$是它们的共同边界。
\end{theorem}

更具体地说，如果$X$是某个紧的带边$n$维流形$D$的边界，且$z\in\mathbb{R}^{n+1}$不在$X$上，那么根据环绕数（degree modulo 2）的概念，可以将$\mathbb{R}^{n+1}-X$分成两个连通分支，分别记为“内部”$D_1$和“外部”$D_0$。并且，$\overline{D}_1$是一个紧流形，其边界$\partial\overline{D}_1=X$。

\end{document}